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核电站---两种DP解法
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发布时间:2019-03-06

本文共 1764 字,大约阅读时间需要 5 分钟。

题目:核电站

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描述

一个核电站有N个放核物质的坑,坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质,则会发生爆炸,于是,在某些坑中可能不放核物质。

任务:对于给定的N和M,求不发生爆炸的放置核物质的方案总数

输入

只一行,两个正整数N,M( 1 < N < 50,2 ≤ M ≤ 5 )

输出

一个正整数S,表示方案总数。

样例输入
4 3
样例输出
13

这道题很明显,以第i个坑为阶段,因为不同的状态定义方式,解法不同。

有以下两种方法(仅DP):

  1. 设dp[i, j]表示考虑在第i个坑放核物质,向前连续j个(包括i)坑放核物质的方案数。不难观察,dp[i, 0] = $\displaystyle \sum_{k = 0}^m{dp[i - 1, k]} $,dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1]。
    第一种方法下代码如下:
#include
#include
#include
#include
using namespace std;const int maxn = 50 + 5;int n, m;long long dp[maxn][6];int main(){ scanf("%d %d", &n, &m); memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; long long sum; for(int i = 1; i <= n; ++ i) { sum = dp[i - 1][0]; for(int j = 1; j < m; ++ j) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; sum += dp[i - 1][j]; } dp[i][0] = sum; } sum = 0; for(int i = 0; i < m; ++ i) sum += dp[n][i]; printf("%lld\n", sum); return 0;}
  1. 设dp[i]为前i个坑所有符合题意的情况的数量。

    当i < m时,前面任意方案都符合题意,因此dp[i] = dp[i - 1] * 2

    当i >= m时,我们可以知道,当该坑放核物质的时候,之前是否放核物质至关重要,如果不放就没有影响了。

    考虑:当第i个坑不放核物质的时候,方案数共有dp[i - 1];当从第i个坑开始前面连续放一个的时候,方案数共有dp[i - 2](第i - 1个坑不放);当从第i个坑开始前面连续放2个的时候,方案数共有dp[i - 3](第i - 2坑不放)...;当从第i个坑开始前面连续放m-1个的时候,方案数共有dp[i - m](第i - m + 1坑不放)。

    故有:dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + ... + dp[i - m];再写一个,两式相减:dp[i + 1] = dp[i] * 2 - dp[i - m];

    **注意:i >= m,当i > m时满足:dp[i] = dp[i - 1] * 2 - dp[i - m - 1];当i = m时,dp[m] = dp[i - 1] * 2 - 1; **

    该方法下代码如下:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;const int maxn = 50 + 5;int n, m;long long dp[maxn] = {1};int main(){ scanf("%d %d", &n, &m); for(int i = 1; i < m; ++ i) dp[i] = dp[i - 1] << 1; dp[m] = (1 << m) - 1; for(int i = m + 1; i <= n; ++ i) dp[i] = (dp[i - 1] << 1) - dp[i - m - 1]; printf("%lld\n", dp[n]); return 0;}

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